Figlio di Cristoforo, studiò con il padre ed entrò bambino nella banda di quella Guardia Irlandese, che il duca Antonio Farnese aveva fondato nel 1702, e nella quale già prestavano servizio il padre e il fratello Giuseppe. Nel Ruolo della Compagnia si legge: "Obbovè Alessandro di Cristoforo Besozzi Parmigiano anni 12, occhi chiari, capelli castagni, arolato li 15 gennaio 1714 con paga di 44 lire". Nel gen. 1728 passò tra i virtuosi di S.A.S. al pagamento di "tre pagnotte al giorno e quattro boccali di vino, della tangente porzione di legna al suo tempo, d'affitto di casa e di lire cento di salario ogni mese". Suonava inoltre nelle maggiori solennità assieme ai fratelli sia nella cattedrale che alla Steccata. Nel Ruolo Farnesiano si legge che cessò di dipendere dal duca il I apr. 1731. La Guardia Irlandese era una compagnia nella quale militavano mercenari provenienti da tutta Europa: irlandesi, francesi, inglesi, borgognoni, alemanni. Quelli di nazionalità italiana erano per la quasi totalità piemontesi, e si spiegherebbe la ragione per la quale, disciolta questa "legione straniera", il 20 apr. 1731 entrò con il fratello Paolo Girolamo al servizio della corte di Torino. Sempre in compagnia del fratello, nel 1735 si recò a Parigi per suonare dal 30 mar. al 29 mag. nei concerts spirituels, e per un certo tempo fecero parte della cappella musicale di Versailles. Nel dic. 1736 erano però di nuovo a Torino, in quanto Alessandro il 30 dic. risulta mediatore per un pagamento dovuto al compositore Giacomelli. Il 19 mag. 1776 Alessandro fu nominato "primo virtuoso di Camera, Direttore Generale della musica istrumentale e suonatore di hautbois" con una paga di 2100 lire annue (G.M.M., 1891, p.457). I due fratelli si esibirono in numerosi concerti pubblici, nei quali eseguirono anche loro composizioni e contribuirono, assieme a Gaetano Pugnani, al predominio della musica strumentale italiana su quella francese. A Torino davano anche lezioni di canto e, vere personalità del mondo della musica, tenevano contatti con tutta Europa: nel gen. 1771 ebbero ospiti Mozart e il padre in visita nella città Quirino Gasparini, scrivendo a padre Martini il 30 set. 1772, narrava che i Besozzi 2 anni prima avevano suonato per Burney in maniera tale che l'inglese aveva creduto di essere in paradiso. Nel 1777 padre Martini richiese il loro ritratto.
Altra riprova della stima con la quale erano accolti, si trova in una lettera del segretario di Stato di Torino del 26 apr. 1755 allo statista di Parma Roberto Rice (A.S.Pr, Carteggio Borbonico, Piemonte, 1747-1756, b. 305): "Si portano costì i Signori Fratelli Besozzi per rivedere la loro Patria e i loro parenti. S.M., al cui servizio si trovano nella qualità di primi suonatori d'oboè, avendo data loro la permissione di fare questo viaggio, ed essendo i medesimi persone di singolare merito e stima, non tanto per la loro abilità nella suddetta professione, quanto per le molte virtù, delle quali sono ornati, non ha voluto lasciarli partire senza una mia lettera alla V.E. Ill.ma per pregarla di volerli accogliere colla sperimentata sua gentilezza e bontà allorché si presenteranno a lei". Questo viaggio nella città natale è ricordato anche nella Cronaca dello Sgavetti (v. V, 1755). Alla data del 20 mag. si legge: "Tutto il Mondo, per modo di dire, corre à S. Vitale per udire, non tanto la S. Messa del Sig. Prevosto Musci, ò sia Muzzi, ma molto più per gli virtuosi vi sono, dei due fratteli Besucij, l'uno per l'abboè, e l'altro pel Fagotto venuti da Turino tempo fà a bela posta come dissi. [...] Cè un concorso incredibile, oltre l'invito della Nobiltà, Guardie ale Porte, Orchestra mesa a bela posta vanti l'altare della Beata Vergine di Costantinopoli sua vera Festività, Aparato magnifico, Rinfreschi senza sparagno. Moltissimi sono stati fuori non essendovi posti entrata per gran Popolo. Volendosi abbia speso in tal Funcione circa mille zechini Suo Padre". I fratelli si recarono poi a Reggio Emilia per la Fiera che vi si teneva e per lo spettacolo d'opera. Il 14 giu, "dopo una belissima academia data in casa del sig. Muzzi, i Besuzi sono partiti per Turino con regali avuti da Reali e dalla sudetta Casa". Tranne questo viaggio nella città natale, rimasero a Torino fino alla morte.
Alessandro e Paolo Girolamo furono ammirati dal Burney, e da una lettera del 30 set. 1772 di Quirino Gasperini sappiamo che per lui "suonarono in modo che imparadisarono l'inglese". Questi li definì "the toneful brothers" (i melodiosi fratelli). Lo stesso Gasperini scrisse a padre Martini (30 lug. 1777) che Alessandro (il fratello era morto) era "una Persona di molto merito, stimato dalla Real Casa, e da tutti in Torino".
I due fratelli furono famosi altresì per la collezione di dipinti, che comprendeva anche un'opera di Ludovico Carracci . Da una lettera del 30 lug. 1777 risulta che Alessandro inviò a padre Martini "ritratti fatti in lor gioventù, onde questi gli furon fatti in Bologna del 29, in occasione che in S. Gio. in Monte suonarono il concerto della musica dell'Accademia da un giovane pittore Torelli". Il ritratto non poteva essere più recente "siccome il secondo frattelo Besozzi, Sig. Girolamo del fagotto, morì anni sono". Tra il 1732 e il 1734 Alessandro fu effigiato a Torino da Carlo Van Loo.
Composizioni: Sei Suonate in tre parti per fl, vla col b.c. per arpa o cello (London, 1747); 12 Sonate per due ob (composta assieme al fratello Gerolamo); Sei pezzi per fl, ob e vla, op. 2 (Paris, 1740); Sei pezzi per fl, ob o vla, con b.c. per arpa o cello, op. 3 (London, 1750); Sei Suonate per 2 vle e b.c. per arpa, op. 4 (London, 1760); Sei Suonate per 2 vle o 2 fl con b.c., op. 5 (London, 1764); Sei Suonate mises au jour per Canavasse; Sei suonate per vla sola e b.c.; 12 Trio per 2 fl traversi e cembalo; Sonata a 2 ob e basso; Trii delli Sig.ri Fratelli Besuzzi di Torino per 2 fl con basso; Suonata a tre per fl traverso, vla e basso; 8 Suonate per 2 vle e cello; Trio per 2 vle con basso; Sei Trio per 2 vle e cello; Sonate da camera per 2 vle e basso; Sei Suonate per 2 vle e basso; Canzonette per s con basso; Sonata a tre per 2 vle e basso; Trio per 2 fl traversi o vla e basso; Due Sonate da camera; Sei Trio per 2 vl oppure ob in vece del primo vl e basso. (Diversi trii e sonate a tre per 2 vl, b e cembalo in ms si trovano nel fondo musicale dell'Archivio Storico Provinciale di Gorizia, mentre una Marchia da caccia delli Signori Bisuzzi (Fondazione Querini Stampalia di Venezia).
Nel 1994 Pietro Borgonovo, Rino Vernizzi ed Edoardo Farina hanno inciso in cd Six sonatas for oboe and basso continuo (CDS 83).